Чтобы читать разборы и решения, выбери номер задачи (№ раздела, страницы, главы):
Автор книги (часть 1 2 3): Ключникова Комиссарова.
Параграф №1: 1 ;
2 ;
3 ;
4 ;
5 ;
6 ;
7 ;
8 ;
9 ;
10 ;
11 ;
Параграф №2: 1 ;
2 ;
3 ;
4 ;
5 ;
6 ;
7 ;
8 ;
9 ;
10 ;
11 ;
Параграф №3: 1 ;
2 ;
3 ;
4 ;
5 ;
6 ;
7 ;
8 ;
9 ;
Параграф №4: 1 ;
2 ;
3 ;
4 ;
5 ;
6 ;
7 ;
8 ;
9 ;
10 ;
Параграф №5: I: 1 ;
2 ;
3 ;
4 ;
5 ;
6 ;
7 ;
8 ;
Параграф №7: 1 ;
2 ;
3 ;
4 ;
5 ;
6 ;
7 ;
8 ;
9 ;
Параграф №8: 1 ;
2 ;
3 ;
4 ;
5 ;
6 ;
7 ;
8 ;
9 ;
Параграф №9: 1 ;
2 ;
3 ;
4 ;
5 ;
6 ;
7 ;
8 ;
9 ;
Параграф №10: 1 ;
2 ;
3 ;
4 ;
5 ;
6 ;
7 ;
8 ;
Параграф №11: 1 ;
2 ;
3 ;
4 ;
5 ;
6 ;
7 ;
8 ;
9 ;
Параграф №12: 1 ;
2 ;
3 ;
4 ;
5 ;
6 ;
7 ;
8 ;
Параграф №13: 1 ;
2 ;
3 ;
4 ;
5 ;
6 ;
7 ;
8 ;
Параграф №14: 1 ;
2 ;
3 ;
4 ;
5 ;
6 ;
7 ;
8 ;
9 ;
10 ;
11 ;
Параграф №15: 1 ;
2 ;
3 ;
4 ;
5 ;
6 ;
7 ;
8 ;
9 ;
Параграф №16: 1 ;
2 ;
3 ;
4 ;
5 ;
6 ;
7 ;
8 ;
9 ;
10 ;
11 ;
Параграф №17: 1 ;
2 ;
3 ;
4 ;
5 ;
6 ;
7 ;
8 ;
9 ;
10 ;
Параграф №18: 1 ;
2 ;
3 ;
4 ;
5 ;
6 ;
7 ;
8 ;
Параграф №19: 1 ;
2 ;
3 ;
4 ;
5 ;
Параграф №20: 1 ;
2 ;
3 ;
4 ;
5 ;
Параграф №21: 1 ;
2 ;
3 ;
4 ;
5 ;
6 ;
7 ;
8 .
Текст из решебника:
ГЛАВА 1. НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ
§1. Линейные и квадратные неравенства (повторение)
5) тем же знаком; заменив;
6) положительное;
7) отрицательное.
10
[ь ~ -•,
:IAIA I kШ-t ~oCS@W
Т Г1 I I I П
Ответ: (-оо; -4) U (4; оо).
6) Наименьшее значение принимает в точке х = -2, наибольшее в точке х = 2.
~~'~:' ';@-::з;;i"'; ~:; ~мае ~-1,~л (Ш'r\' шr'·
Отвт . .,. =А- у нб . n U
r)H и а ен en и J./ет чке х с(Эз оль вто х= .
Ответ:у.,..,.= ,Унонб= .
а}Ответ:tr=,-1 r:rr. ,Q ,------,1 ~c±l;Q~IQM
1\ .~· 0~11 Г'~
1"1 ,1· 11 f5 )? Dr) q,_, I 11 •\ Q, 19 ~~~
' "
1, 1"-
> "
'" ~
l,(J " ' о[':: '
" ,,
I'-
~
б}Ответ:~ ~ . cl/,?~:~ р:} l~~сг') h..11 Q :~I(
I 1' lr.'il >\
I "
I"
"
\ I'-
1() 1 ' lit l's '
1/ "
~ ~r<.17 ~~~
"-i, !I' ;:::,_ lfl', ~, rl..v/ 11· s
( I • ~ IIJ и l 1/°1.- t:Jc1 -l
,_ ~ ;'\L-
~, •.... !- 1-ТТ у r, 1 --г k"
_j_
V
V
Л\JJ
и vб
Via
1/
m~I I I~ I ffi@W:
б}Ответ:н о ) т- pew н . о
I I I ([) 'I I
И I I I I I I I I l,V I I I 1/
\J/1 1 И I 1. I I I I I I I 1-л I I V
01 i k"I I I 1, I I I I I I lf'I .LLIL
И I I I I I I I I I 11 I I 1/
6
I
;:::-п~'"',-т,::: il~ь'I п-( ;щ ~ ---
I I i'::j'-\"=S<. '-'~l-J
{_;..r J '- ~ _7
/
/
,{) '
I
I l}D(f)0 R;
2) функция возрастает на (-о::,; оо};
3) функция не ограничена; 4)Унанм= нет, Vнаиб= нет;
5) функция непрерывна на (-оо; =): 6} Е(~ 0 R.
6)
'
I
~
r,._
о '
1} D(f)0 R,
2) функция возрастает на [О; оо), убывает на (-оо; О];
3) функция ограничена снизу;
4) Унаим= 0,Унаиб= нет;
ёi,i~:1~1WR-~1~ ~~ м
,1 I~ ~ ' I I , l n i, ,__, D '
1' ---
v" '
I 1} D(f)0 R;
2) функция возрастает на(----=; О], убывает на (О; =):
3) функция не ограничена; 4)Унанм= неТ,Унаиб= нет;
5) функция имеет разрыв в точке х О; 6} Е(~ 0 R.
с}
г-, I
1,
"
}
о '
1} D(f)0 R;
::::::~:~,,oi=crffi,e.,,,,,~1~;~).y6ы,Ш,e,sa(-oo~;l]; @@Ш
4)Унаим- , нанб ТД
5) функция н п е ы а а - ); О Q о
6} Е(~ 0 [1;
7 а)
/ I I I I I I I I I I I'\-
11"--
1\.1 ["--
k'O_I i
01 \1 ['.,
I
I
6)
I
11 I 11
11 I 11
11 I 11
l
l
IIIIIК!лllllllll llll\11
11'1'\1
о
\--1--.,-1-.,J____\.___ll,........1.....ll-4,..,,--.I..JI.-LI------,
I
1/
и V,
/Ill llllllllfll/1]
/1 I I I I I I I I I I I I 1 /1 I
/1 I I I I I I I I I I I I 1/1 I
r-.. I 1 /1 I I I I I I I I I I I
\J I / I I I I I I I I I I I I
I
[\,.1/
1
Кl:;{1111111
vбl '\
01 ~
§13. Функции у= х-" (п Е N), их свойства и графики
3 I
~~-,~~f ~ ~ IC'\ ~---
- (~ ':,~
, _ ~L__, ,~~ -- -- - ~ -r--f--
\ I \
\ -V ,_
-/ ,_
О 1 ' о '
~~:, /'-' _,.... -) /"",~ (-\ -~~
6) 1,(Fl Р1 1 -~о "о_)
.А
r RI '--
I
1
1/ \
_v -- I\
1/ \
о ' V о''~ '
\ti. ,- (гс' 4 1 J }t?Гд ,-j( ~ В' ~~~ ---
i r• с--.
LJ_JIЦJL :r~ у I._;......, ЛJ"f= v·'- [! f---т'У 4 б}
На промежутке [1; 2) функция является убывающей, поэтому наибольшего значения она достигает в точке х = 1, наименьшего нет, т.н. на конце промежутка функция не определена. Ответ:ун0.,,,.=нет,Унанб=l.
,}
Нааром~~·' Y"@'ffi~""~@JШ"" ее
опре~елен п т ~I _ т а er и/i'\аи ен о знач н я. О
Ответ.у,...,.. н т " - е. И Q
с}
На промежутке [1; 2] функция является убывающей, п~этому наибольшего значения она достигает в точке х = 1, f~l) = 1, наименьшего в точке х = 2, f(2) = 64.
Ответ:vнаим=64, Vнаиб= 1.
11
5 а)
r(½H½J_, ~•,
iii@Io) ~о@@Ш
б}четная;
в} убывает на (-оо;-1) U (О; 1), возрастает на (1; О) U {1; оо); r)x=O.
l"J I /
c--r1'-I I"+-
\1 --У
·1;
oN
гi--1--.lo
/',_
\
б}О,ее,~~l~
\
I
V
I
~
--1-")
[Ll"t-
01 '
r---1--..1.0'
I/
Л-1 \ ,_, .__, ...с...
a}O,ee"r--t}Jn ~ ~,} - с ±1. ,....._,.... ~ ~
l.JJ' I (~ в.\{_
I C__;j- !\,... J ~L V 'f, rs . 1- L
L--'-eL '<:::~ -- __ }-0\::::7¾ ~- _J
\ I I
/ I .\I/
~ /
о 1
б} Ответ:~;:;-~-- \ / ~ ~D/"'~' е 0 /' 1, V
• ~ о ~
r 'ii' ':t I'-. I 0 -" ,. I.I
г-,
г-, I I "
' _, "
-, - " ,,_
Ol'-s! ' ----- о ,1 '
I", \ "
.:s.. -- ~~ ~v~
~ . 17 ,._ {1- в~ LJV J ---
-- ~D- ~~ \;;1J
I - V ·,tг " -" ----1
t ~ -j-'L ~ - н т т ' т l 8
-~~~n(с;(о)м
§14. Функция у= 1/х, ее свойства и график
5
~~т~n~(о)м
§2. Рациональные неравенства
7
;1\,,@@П)~о@@Ш
а}Ответ:1~ ,1,;-Pn~~'1 l~clQ ~ ~-й
А-У 1~ JB
I I / - 1Т / V ~IO ~ - ~· ---
L c..J _µL.J' -- ~17"--·)._ J
V 1/
/ __ 1--- --- ,/
1/ 1/
I~ 1 ' If' '
-- -1/ I/ -,-
/ 1/
V V
6) Ответ ~''/(J ~ ,r ;-JJ D1 I ~р ·~ 'о' V'
•\ IFJ\ "А '"" ' J ~
I'\ " 1/
I"-. I'\ 1/
•..... - I'\ / L-----
' I'-. С/
9' 1 i"-. ' 9' '
-- I"-. --
1 '-~ -- - -Jc,
h,_µ , " \ ILJJ' -~5. " ~
I I )---....: t:,~ LI:!_ LV~ Uc .'. ~-\-)
L'-.J l l у ·1 l а}Ответ:(~РГ)г rI:J1 c-r\J 't:J-3; ooJ;,--;-r-lf'I' --v-;
I / " 1 -~ 1 I /д-j- ~ ~ -11
, ~ 1 17 L_J'i..J' ~ _:,, - JL_
--- ---
-1 1
.,; _/
-1- о ' -- о '
.-~,~ ,- ~- ~ ,,..~ 1(-" -v-
б} Ответ: ~; } д ~ D ) , оо;О Г\_. \О,, tj
, I/ 'ii\ '-1 I ,; (") ~
->-
-
о 1 ' -- - о
--
" 1-IJ. ,, ~I l, \ Ц7) If Ef ..,,.
(1 I " ' - I /m ~ -~ ---
-~ I
11 '-- ----j-J L- V 4--j-J 1..1 '- ~ -7 10 3..Гх2-з1/х-4=О;
~ffi@ЗП) ~ о@@Ш
ГЛАВА 4. ПРОГРЕССИИ
§15. Числовые последовательности
SJ возрастающей;
6) убывающей;
7) постоянной.
а)16;25. 6}9; 11.
а1 = 3, а2 = 5, а3 = 7, т.е. каждый следующий член последовательности больше предыдущего на
2. Формула an = ап-1 + 2.
1 1
:о;:д:w&@т§~о~···
г)4; s·
Знаменатель каждой следующей дроби увеличивается на 1, числитель на 1 больше знаменателя: п+l
an=~-
4
М\~m~n~(о)м
Ответ: [-4; 7]. ,}
-~o@@W
с}
х2(х+¼)(х-8) = О; х =-¼;О; 8.
6
б}а,=-5+6=1, аз=1+6=7, а4=7+6=13.
~~'::,-ШS;l;,7;1:·~c а М)б с ~ @@Ш
Q,s";,1~;5 Q. о
2т:ет: ;~; ~;-2,=. :2 ,S, 4 ,S: =-"Qp.
9
~~т~nСс5(о)м
§16. Арифметическая проrрессия
1) Арифметической прогрессией; разностью арифметической прогрессии;
:~~@~о@@Ш
5) an = а,,_1; an+l; полусумме двух соседних членов прогрессии.
а}а1=-14, d -9-(-14)=5; a7=a1+6d=-14+6·5=-14+30=16. Ответ: 16.
4
-~т~nСс5(о)м
5
~~(~Ш~о@@Ш
3n=9; n=З.
Ответ: n =3.
б}
an=O, an=a1 +d(n-1};
!~@Ш~о@@Ш
Ответ: n =5. ,}
Зn=9, Зn=а1 +d(n-1};
[flS@Ш~o@@Ш
Ответ:[-3;4)U [б;оо). ,}
7 б}
2а1 +d(n-1)
Sn= 2 · п; d = а2 - а1 = -4 + 8 = 4; а1 = -8; n = 7;
2(-8) + 4(7 - 1) -16 + 24
S1= 2 ·7=--2-·7=28.
;Cfu~·@гffio~sл,e@s@OOcc,eй}
;:·~'~·~··п; d ~ а, - а,~ -13; а,~ ?а, п ~ б; 2 · 18 - 13(6 - 1)
s6 = 2 б = (Зб- 65) · з = -29 · з = -87.
Ответ:-87.
8
~~@зП)~о@@Ш
6)
а1 +а,,
Sn = -2 · п; а1 = 6; а12 = 10 - 4 · 12 = 10 - 48 = -38; n = 12;
6- 38
S12 = -2 · 12 = -32 · 6 = -186.
:w&@~з~5@@Ш
Sз1 = -2 · 31 = 29 · 31 = 899.
Ответ:899.
с)
~~@~Ш'~~Сs©Ш
а2 = 5,5-0,5 = 5; а3=5-0,5=4,5; а4 = 4,5-0,5 = 4;
iZ@Ш~о@@Ш
а10= 1,5-0,5 = 1.
Ответ: 5,5; 5; 4,5; 4; 3,5; 3; 2,5; 2; 1,5; 1.
10
ai=-2,5, аб=4, a6=a1+5d, 5d=4-2,5; Sd=l,5; d=0,3;
[email protected] П) ~ о@@Ш
;~{Py;~б~~j06o~r;;v-;i Отв,т:(влfе~\ l \.П J U J / Й1 ~\ l~} U }j tj l
§17. Геометрическая прогрессия
а)б; 12; 24.
б} 0,8; 0,4; 0,2.
Ь1 = 3,2; Ь2 = 1,6; q = t = ~ = 0,5;
1 3,2 Ь3 = b2q = 1,6 · 0,5 = 0,8;
Ь4 = b3q = 0,8 · 0,5 = 0,4;
Ь5 = b4q = 0,4 · 0,5 = 0,2.
в) 1;--0,5; 0,25.
;miJfoJ~ о@@Ш
Ь5 = b4q = -0,5 · (-0,5) = 0,25. г) 81;-243; 729.
Ь2 27
Ь1 = 9; Ь2 = -27; q = ь;_ = -9 = -3;
Ь3 = b2q = -27· (-3) = 81;
Ь4 = b3q = 81 · (-3) = -243;
Ь5 = b4q = -243 · (-3) = 729.
4
6) Ь6 = b1q5, значит, Ь1 = 243: (-3)5 = 243: (-243} = -1. Ответ:-1.
·~, ь q Ь~-- 'I[)· ~ @@Ш
0"" - • D О
г) = : · 1 25 : 2 6-11-. О
Ответ:4.
а)Ь1 = Ь6: q5 =~: 35 =~; Ь7 = Ь1 q6 =~·36 =~-
1 1
;;ffii~ ~ E?,J-z)nrгcз®n
~}·~ш~ш ~о~~ш
Ответ: Ь1 = 3.
г) Ь4 = ~ = .../7--:zв = 7 2 = 14. Ответ: 14.
Ответ: (-3; -2) U (2; б}. б}
xz + 5 > О; х(х + 5) > О. х-7
Ответ: (-оо; -3) U (4; оо}. с}
(х - 4)х2 х(х - 4)
~ ~ oCs@W
7 6)
Ь1 · (q" -1) Ь2
S,, = ~; п = 6; Ь1 = ..fi.; Ь2 = 2; q = ь;_ = ..fi.;
Л(Гz'-1) ,д
~iti~·~ ~ o,Cs@W
S,,=~; n=б; Ь1=3; Ь2=32; q=3=З; 3(36-1)
sб = --- = 1092_ 3-1
Ответ: 1092.
201 Ответ: 24211.
ГЛАВА 5. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§18. Комбинаторные задачи
4) разными; n по n; А~.
,}
Завтрак '
творожок
'
каша
'
сосиска
!
~а7~0 1ч~ЙJ, 1с1к! к1а7а1о 1ч~й! 1с1\ ~а7а1о !ч1й! l.c~кl.
~&(Effi~I~~зo@@~
'
творожок каша сосиска
' ' ' ! ' '
какао чай какао чай сок какао чай
!! ! "! '" '" '" '" '" ! !!
РБЗ РБЗ РБЗ РБЗ РБЗ РБЗ РБЗ РБЗ 3
Каждос~~~~о~"m'~Вш~(О)оме,30·30°
900раз тg ра а е к11\ о Н
Ответ: 900. 'v U n 'тг'
Ответ: (-8; 8). ,}
1
8w~o@@W
Ответ:[-5;5]. с}
Ответ: 16 способов.
7
а} 12 чисел: 24, 42, 26, 62, 29, 92, 46, 64, 49, 94, 69, 96;
:~ffi@Ш~o@@Ш
§19. Дизайн информации
1) Кратность этой варианты;
2) отношению кратности варианты к объему измерений;
кратность варианты
:а~:от:вар:;антsfi,~ , ,~~ ; @@Ш
4)се е/~1рфе ескмвg,ыт;
ер не на ни м е оизве н й аGв ·
5) разность между наибольшим и наименьшим вариантами;
6) мода.
3 а}
I Kpa.,ocro 1, 1, 1, I , I 1 I , I 1 1, I • I , I з I 1 I су;о"' I
бj
19,1 + 19,2 + 19,4+ 19,6 2 + 19,7 + 19,В· 2 + 19,9 + 20 + 20,1 ·4+ 20,3 · 2 + 20,5 · 3 + 21,3
20
= 19,995;
в} 20,1; ,1
19,1 19,2 19,4 19,б 19,7 19,8 19,9 20 20,1 20,3 20,5
Варианта
Сумма
518
0,191 0,118 0,452 0,131 0,108 1
19,1 11,8 45,2 13,1 10,8 100
6) Варианта
в}50; с)
99 · 48 + 51 61 + 50 · 234 + 52 · 68 + 53 · 56 4752 + 3111 + 11700 + 3536 + 2968
518 518
50,32.
5
•@П)~о@@Ш
§20. Простейшие вероятностные задачи
1) Достоверным;
9 1
а) N = 90; N(A) = 9; Р(А) = 9Q = 1()·
1
Ответ: 1О = 10%.
:~ffi(~~~o@@Ш
в) N = 90; N(A) = 27; Р(А) =-------;:;- = 9() = 1()· 3
Ответ: 1Q = 30%.
Ответ: (-со;-½) U [6; со). 6}
Зх-1-2+х 4х-З 4(х-О,75)
1 'I I f 1·1 'I нг=,••
-
2
Ответ: (-со; 0,75] U (2; со).
Ответ: (--со;-18} U (5; со). с}
5х+2-12+4х 9х-10 9(х-1¼)
- _ х . . <_О;.~~ О; ~ > О.
N(A) 16 1
а) N(A) = 16; Р(А) =-------;:;- = 64 = 4 или 25%.
Ответ: 25%.
N(A) О
г)N(А) = О; Р(А) =-------;:;- = 64= О.
Ответ: О.
4
~~т~n~(о)м
"1 mmrn1m1:1
N(A) 10 5 N = 12; N(A) = 8 + 2 = 10; Р(А) =-----,:;- = iz = б·
5
jf~@W
N(A) 1
N=12; N(A)=l; P(A)=~=l"z"
1
Ответ: l2 = 8%.
с)
§21. Экспериментальные данные и вероятности событий
2
:~@Ш~о@@Ш
4
:~~@Ш~о@@Ш
5
8! 5 · 6- 7 ·8
m.@~ ~ oCS@W
6
В 2 20=5;
:t&@Ш~о@@Ш
Ответ:5 = 20%.
7
~~o@@W
Ответ: (-оо; О] U [З; оо). б}
(2 - х)(2 + х) - (2 + х)2 > О; (2 + x)(Z - х - 2 - х) > О; -2х(2 + х) > О; Zx(x + 2) < О.
2 Ответ: з"
с}
!fШ1П'К~~·~@@w
8
:~ffi@Ш~o@@Ш
Ответ: (О; 8). ,1
~ХiШ №~ oCs@W
Т Г1 I I I П
Ответ: [О; 5]. с}
3х + ¼ х2 2: О; х2 + 18х 2: О; х(х + 18) 2: О.
2
~~о@@Ш
Ответ: (-оо; 2,5]. ,}
~~о@@Ш
с}
~~о@@Ш
10
Ответ: (-1; О) U (1; оо). с)
t2-4 4-t2 2r2-s t2-4
-,-.-~~о:~: О;_-,-< О.
11 б}
111 mum 1 1:1
Ответ: (-оо; -5) U {-5; -4) U (-3; 1} U (1; 2). ,}
3 I х __ !-)(х + 6) < U.
, I
I
- -2 - 1 4 '
I 3
I Ответ: (-6; -2) U (-1;¼).
§3. Множества и операции над ними
2
;)~~~~~о@@Ш
4
( 19
,)i../з~- 5;-.
6 , , • , D О
•J{, , 5, • ,-JП)~о@@Ш
6
~@W
Ответ: (-4,1; 1,6). ,}
7
-@W
Ответ: (-3; 12]. ,}
3
;iwmб~w~;@@nп
Ответ:(-оо;S). 6)
ТПS~ ~ п т п т + 15z + Zz $ Н; 10z $ 2; z $ 0,2.
Ответ: (-оо; 0,2].
~51ffi;~бШS~ 0@@Ш
Ответ:(-s½; со). с}
Ответ: (-со; О] U {1}. ,}
]Жt f'lbllt'~:"@@w
Т ГI I I I 11 Ответ: (-со; --0,5] U [О,5; со)
с}
х-3
-:-:;о.
~~oCS@W
Ответ: {..Jsi; 13). б}
Ответ: (7,1; 13,1]. с}
~м
От· ·,1 ш
§4. Системы неравенств
1
1~&@Ш~о@@Ш
5) множество решений остальных неравенств.
Ответ: (-со; О]. ,)
{ 1
-Зх>-1 х<3
{_Зх>-11 2
х < 33-
Ответ (-оо; ½).
ЗI I г з
Ответ:[-¼;½]-
,}
1-~·oes@w
Ответ: [-15; 15]. с}
( (х - 4)(х + 4) > О l(x - б)(х + 6) ~ О.
гhШШEalh@W
Ответ:(-оо;-l)u(½; оо). s)
f х2 - 4х + 4 > О tx2-4x+ 1¾< О
U 'L '4" "'~ 1 j u111 CfJl:{~1
1 ,.\ 1-,\ , I 11 I / ~ U~¼_Ь
{D = 9, : : \5; 3,5.
Ответ: (1,5; 2} U (2; 3,5).
f х2 - 3х - 4 < О tx2+3x+2¼>0
(D = 9 + 16 = 25, х = -4; 1 D = 9 - 9 = О, х = -1,5 (х + 4)(х - 1) < О 1(x+~rv +4){xN
Ответ: [-4; 5) U (5; оо ).
-~·b@@W
1~R\WiJ Uo'3i@~
1
Зх~4 { x~l3
_.,_~' _
Ответ:[З;со).
х2 - 2х + 1 = (х -1)2.
Ответ: (---оо;-5) U (О; оо). с)
f(x - l)(x + 1) ~ О
{EfH,WJJJid;H h@W
Ответ: [-2;-1) U (-1; 1) U (1; 2].
,) О (Зх(х+2)~0 @М
~OW
1,--+е
·-2] U [О; 2) U (2; оо).
Ответ:(-оо,
с) (С.х - 1).( х + l) ~ О
(х2 -1 ~ О х * ±2.
х2.-~*-.О.
Ответ:[з½; оо).
~~~~Ц)~о@@Ш
Ответ:(-оо; 1). с)
Ответ:(-3; 1). 6}
f 25х2 - 20х + 40 > 25х2 - 15х { -Sx > -40 {х < 8
lТЛХ fffiTJ ( ~22х ~ ~·· х ~ ,.
Ответ: [2; 8).
Ответ: (-29; 3}. с}
{ 7
>1-
psy - бу - з > 24 - 4 + 2у - бу рбу > zз У 1б
l Sy -1 - Зу+ 3 > 9у l 7у < 2 2
tжJ I жti у<7
~о@@Ш
Ответ:-1; О; 1; 2. '
(х2 + 2х - 15 < О lx2+6x+B~0
((х + 5)(х - 3) < О _ 4 < х < _2 I х2 + 2х - 15 = О; l(x + 4)(х + 2) :5 О - - · D = 4 + 60 = 64;
Ответ: -4; -3; -2. с)
ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
§5. Системы уравнений. Основные понятия
1. Рациональные уравнения
Ответ:
гтт,тзт.~ шшш
2
б}р(А;В) = ,.j(З + 1)2 + (-1- 4)2 = ,./42 + (-5)2 = -v'lб + 25 = ffl; в} р(А; В)= )(2 -1)2 + (3 - 1)2 = ../1+4 = ../5;
г)р(А;В) =-J(-1- 2)2+ (-2 + 1)2 = у9+1 =-lfo.
з
б}<;J(-2; 1); r= З.
V
I/ I\
1\ О /1 '
!'--- v
в}О(2;-2}; r=2.
, I I I I
' I
I Ir - 1v
/ I_ I 1\ 11 ,JJ
IJl IJ 11
' . IГ r-, I / л I
1\ I 1,1 u '- ' /
r r' '11'
о '
/
r)0(-3;-l);r=4.
,.
I
I о '
\ -
-
;u:·~i:~[я\ Q ~ ~ ~@)М г)(x+2):ttSШ~u~o~ Ш
111. Система уравнений с двумя переменными
, ~~~Ш~@@Ш
1) Одновре е о· А О О
2)всееере е ;р е нет. Q
2 б}
· ..
' I/
' 1/
' 1/
к ,7
I'-./
с-.. о '
1\
,-
Ответ:1. ,}
· ..
V '
1/ .\ \
I'-.
" о 1 '
1\ 1\ J
I"-. /
Ответ:4.
у
V
/ 1/r--.
1/
V
v, V
1% '
1/
/
V
Ответ:2.
Ответ:2).
а}
у
1,
1, / г---
,о 1 '
'" V
I"
1,
" Ответ: (-2; О), (О;-2). ,}
у= х'- парабола с вершиной в точке (О; О};
~Mas.
~
"
"
"
" I I
1,
I"' ;
о"' '
"
"
1,
1, Ответ: (-1; 1), (О; О). с}
у= 2 - х2 - парабола с вершиной в точке (О; 2);
-+-+-+-+-+-+-+-vi I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
1/
V
7
1/
V,
VI 11 I I I 1\
IV. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными
:)Пap'"~Q,~SO' ~ CJ@M 2)одновр:~~~~я~QD Ш
2 6)
3
у = ~ - гипербола;
у= х :-- прямая
'
1·i : +-·/
~ I
1\. 11
J/"',,. _____
I
""~ ~, " 1 1,
'К/
Lt1 '·
-~ ~ \
/ \
-- - I
-~ / .. L
-г-т-т ~ 1 , I, Ответ: оранжевая область. ,)
у= х2 + 2 - парабола с вершиной (О; 2);
х2 + у2 = 9- окружность с центром (О; О) и r = 3.
1,-1... .••••.• ,1
11. v. I 1
Т11 ii I
L,-\,_ V'·,
I \
-- --· 1
-~ ~~, о 1 ,
\ I
!, - _,.,t
I I I I
I I I I
I 1 I I Ответ: оранжевая область. ,)
(х - 3)2 + у2 = 4- окружность с центром (3; О) и r 2; у=../х.
-
111111111111111
Ответ: оранжевая область.
I I I I I
3 6)
3 Зх+4у=О; 4у=-3х; у=---;-х
1 I I '
1 I I
= 'Л I
- 1,-l,
- ·,,..,,
~' ,
""ь
·,
I I~ :'
,)
У =х2 -1.
~-vi.-
_I
.L
1.-"
./_
.'i.L.1 ,
,)
Окруж_но~ь ~ це_нтр_ом _(О;~) и r = 2.
- +--4-+ '--" V
= р ~
- ( 11\1 t1
-
= т т ~ L;)тtтт ,
= ~1-11. \'1~1 Г\ 11 - J 1/ ~ '-, IV ,J
/11,L, _J IHI
I I Ц •.. :1[:_рсРГ'++]IЦ".У 14--+1 DК:1--- f---V ~JL~ §б. Основные методы решения систем урввнений
2 б)
f у=Зz-3 [у=Зz-3 ( у=Зz-3 ( у=Зz-3
l4z2 - 2(3z - 3) = 6 4z2 - бz = о 4z(z -1,5) = О z = О, z = 1,5.
Ответ: (-3; О), (1,5; 1,5).
,)
(:~~:; [,~~~~-~з х:,~~~у (x_;y(s2~y @J( х_~_,о~м
т----rг;::-,._г-:,;,_)
r~~ у +D о о о
D = 81 - 56 = 25; ry ~ -7 [х ~ 2 LY= -2 х = 7. Ответ: (2;-7), (7;-2}.
4
:~@Ш~о@@Ш
х2 = 16; х = ±4.
у2 = ½(18 - х2) = ½с1в - 16) = 1; у= ±1. Ответ: (-4; -1), (-4; 1}, (4; -1), (4; 1).
,1
+J;~;z:
ху+х=56 ху+у=54 х - у= 2;
2х = 8;
2х = -8;
х=4; х=-4;
у = 6 - 4 = 2. у = -6 - 4 = -10.
Ответ: (4; 2), (-4;-10}.
,}
еt==б~ f:t: :~ [: = :~ [::: ::.
~@IoJ~@@Ш
у = 1 - 3,5 = -2,5. у= -1 + 3,5 = 2,5.
Ответ: (3,5;-2,5), (-3,5; 2,5}.
с}
f(x + у)(х - у)= 8 {uv = 8 {u = -4 l 2(х -у)= -4 V = -2 V = -2. +{х+у=-4
х -у= -2
6~@Ш~о@@Ш
:~@Ш~о@@W
х = 5.
у = -х + 9 = -5 + 9 = 4. Ответ:(5;4).
6)
{ 4 12
-+-=3 12 х-у х+у
l) 8 18
---=-1 х-у х+у
t 4 12
-+-=з 1-з
Z) х;у \~У
---=-11-2
-у х+у
l 8 24
-+-=6
_ х-у х+у
8 18
-----=-1
-у х+у
42
х+ у= 7;
l liy ~ ~6
--+-=9
_ х-у х+у
16 36
---=-2
-у х+у
28
х -у= 7;
·~@ш~:@@W
Ответ:(5;1). ,)
{ 1 2 [' 2
-+-=1 -+ --=1
х у х Зх-2
у=Зх-2 у=Зх-2
Зх2 - Zx - Zx - Зх + 2 = О; 3х2 - 7х + 2 = О;
D = 49 - 24 = 25;
[x~,z гу~б-2~4 х=3 lv=l-2=-1.
Ответ:(2;4), (½; -1).
с)
4у=2х2-8х 4у = Зх-9 2х2-11х+9=0; D = 121 - 72 = 49;
~ff\~ 1 1
511~:@9&~·'ь@@W
х2 = 25; х = ±5.
у2 = ½сх2 - 22) = ½czs - 22) = 1; у= ±1. Ответ: (5; 1), (5; -1}, (-5; 1}, (-5; -1).
6)
х2 + 2х +Зу= 3 х2 + х + 2у = 4 х+у=-1; у=-1-х.
х2 +х + 2(-1-х) = 4; х2 + х - 2 - 2х - 4 = О; х2 - х - 6 = О;
[х~з [у~-4
х = -2 у= 1.
Ответ: (3;-4),(-2; 1}. ,)
iд&{~@ ~ о@@Ш
D = 81 + 1600 = 1681;
[у2 = -25 < о 2
у2 = 16 У = 16; у = ±4.
[ у~4 [x~s
У= -4 х = -5 Ответ: (5; 4), (-5; -4}.· с)
(3х2 + Zx = Зу I · 2 [зо + 12х = бу
fбх2+4х=бу - [зо + 12х = бу
бх2 - Вх - 30 = О; D = 64 + 720 = 784; 2
х = 3; -13.
(х2 + 4у = 10 + ! х2 + 4у = 10
lx - 2у = -5 I· 2 2х - 4у - 10
х2 + 2х = О· х(х + 2) = 0; х = О; -2.
[х ~ О [У~ 2,5 х = -2 LY= 1,s.
~&~~е~,~ о@@Ш
5у2 - бу2 = -1; у2 = 1;
y=±l.
х = -2;2. Ответ:(-2; 1),(2;-1). с)
Вычтем из первого уравнения второе:
~Sx-Sym~2,,5, :~-у;;,~ УIШ:;р~,е~· @@Ш
xi,- - - il" ( - ~ О; х · . о
-1 -- о
' ,-4.
§7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций
2этап: fy=x+ 15 l ху = 700
~~~@П) ~ о@@Ш
[х = -35; у= -20. Зэтап:
х = 20, у= 35. Ответ: 20 м, 35 м.
2этап:
х + у = 7; х = 7 - у подставим во второе уравнение: 49 -14у + у2 + у2 = 25;
ii@Ш~о@@Ш
Зэтап:
Стороны прямоугольника 3 см и 4 см. Ответ:Зсм,4см.
lэтап:
Зэтап:
по условию эадачи числа должны быть положительные, поэтому отрицательную пару чисел отбрасываем.
Ответ: 12 и 18.
4
;~@Ш~о@@Ш
t+y х-у
80 80
-+-=9. +у х-у 2этап:
lэтап: х +у;
х +у= 100; 1,2х;
1,ly;
1,2х + 1,ly = 116; { х+у=100
1Ш@3Ш.~ о@@Ш
1,2(100 -у)+ 1,ly = 116; 120 - 1,2у + 1,ly = 116; -0,ly = -4; у= 40. х = 100 - 40 = 60.
Зэтап:
Мастер сделал 60 деталей, ученик - 40 деталей. Ответ: 60 и 40 деталей.
lэтап:
Пустьх -одно число,у-другое число. Т.к. их сумма 25, получаем уравнение: х +у= 25. Т.к. их произведение 144, получаем уравнение: ху = 144. Составим математическую модель:
rx+y = 25
lxy = 144.
2этап:
Зэтап:
Искомые числа 9 и 16. Ответ:9 и 16.
,)
lx-31 < 5.
Ответ: (-оо;-1,6) U (8; оо).
lэтап:
1:~~1~.sl~~I
f 1(х+у)=15 ll,S(x - у)= 15.
•@П)~о@@Ш
х = 12,5.
у = 15 - х = 2,5. Зэтап:
12,5 км/ч - собственная скорость, 2,5 км/ч - скорость течения. Ответ:12,5км/ч,2,5км/ч.
lэтап:
х - пятирублевых монет, у- двухрублевых монет. Т.к. было 155 руб., то получаем уравнение:
Sx + 2у = 155. Т.к. пятирублевых было на 4 монеты меньше, получаем уравнение: у - х = 4. Составим математическую модель:
f:~;1IO@i~~~p~@Ш
Зэтап:
Пятирублевых 21 монета, двухрублевых 25 монет. Ответ: 21 и 25 монет.
lэтап:
х -упаковок по 5 дискет, у-упаковок по 10 дискет. Т.к. всего было 100 дискет, то получаем уравнение: Sx + 10у = 100. Т.к. упаковок по 5 дискет было на 8 больше, получаем уравнение: х - у = В. Составим математическую модель:
г: ~;' == 8~00
~'(m@Ш~о@@Ш
у= 4.
х = у+ В= 12. Зэтап:
12 упаковок по 5 дискет и 4 упаковки по 10 дискет. Ответ: 12 и 4упаковки.
ГЛАВА 3. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
а} 2х>-4; х>-2.
Ответ: D(f) = (-2; оо).
6}:;';~o;,:l~~u ·~) ~ @@Ш
в} 1р иt> -{I ~ ыВп л 6 аначв и хпе е~й
От т: ) R. О
r) В р ж ие еет смысл пр ых значениях переменой.
Ответ: D(f) = R.
6
~@Ш~о@@Ш
б}
у = З; х2 - 4х - 5 = З; х2 - 4х - 8 = О; D = 16 + 32 = 48;
[х = 2-2....fз; x=Z+Z..fз.
;~@tВ+~о@@Ш
[х=З+Гz. Ответ:З±Гz. с}
Ш&@jioJ~D~rs@ш
а} R;
б} f(-4) ~ 4,f(0) ~ О,{(2) ~ 2,f(S) ~ 2; ,}
'- "
'
'-
1Г -'>-h / I m1 If 1
' /Г\. / ff' 7 7-с V+cf \/ I
L ,1 :\? ~11:-
\, "' cLJJ r~ --~
11 \]
г) [О; оо).
,р
-2х2 + lOx - 8 = О;
D = 100 - 64 = 36; -10±../36 -10±6
х=~=~;
[х ~4,
,х~
Ответ: (---оо; 1] U [4; оо). ,)
[ 1
1 1 1 х =2, х2-42':О; (x-z)(x+z)2:o; х=-~ 2·
1nл~\11,ч, 1W~0@@Ш
Ответ (-оо; -½]u[½, оо)
,)
(2 - х)(2 + х) < О; (х - 2)(х + 2) > О; [;: :2_
8
~~т~о@(о)м
§9. Способы задания функций
б} График данной функции получается из графика функции у= Гх сдвигом вдоль оси ОХ на 1 ед.
5
;WЛ\Сс8~~о@@Ш
7
:~@ПJ~о@@Ш
8
М\~т~nСс5(о)м
9
~~т~n~(о)м
§10. Свойства функций
3 б}
Функция является убывающей, если для х1 < х2 выполняется неравенство у(х1) > у{х2). Пустьх1 < х2, по условию х1 < О,х2 <О.Значит xf > xi; 2xf > 2xf; 2xf - 4 > Zxi - 4. Следовательно, у(х1) > у(х2) -функция является убывающей на (-оо; О].
,}
Фуа,~~бы,оо·, ~' ~oo'"(s@Jffiy(x,).
Пусть Х, оу ов IO о, 2 Г\О. Н о
4 4 Ii. Lriц
¾>½ е яу а а -О
с}
Функция является возрастающей, если для х1 < х2 выполняется неравенство у(х1) < у(х2). Пустьх1 <х2,поусловиюх1 > 2,х2 > 2.Значит х1 -2 <х2-2; ~ < ~- Т.е. у(х1) < у(х2) -функция является возрастающей на [2; оо).
5
-~т~n~(о)м
J I
,J
О 1 ,
~ !ГiJ.1-',_ ILrг J- , ir,-f IL. )- ~ -it,=-/ h' ,-f ff~~~ -~~ ~f;i .~ '- 'Fil м1171- г'l 'и,µ 1r 1~~~~
I I I
1 1 , I I I I I I I
1) R; 2)10; ooj;
3) снизу; сверху;
4) Ун~"м = О, Унаиб = нет;
5) на (-оо; оо);
6) [О; оо}.
i I I I I I I
I I I I ! I I I I
I I I I I
I'\
V '--
'
\ 1 ~ ,~~r
-~::1 r:=i=., If г-г-т-
r= р j; Г'-1::': u ':;;f ,----,- (!~ re ,,, ~ ~, ~
·-· 'I" J с'. _}_ f __l
J t'ii' r--::r::c '- г- J _1 1 I
1 I I I
- I _l I I I I I I I ' '
- I I I ' I' I I I
I I_, ' I ' I Jj D(fjc R;
2) функция возрастает на [-2; 2], убывает на (-оо; 2) U [2; оо);
3) функция ограничена снизу и сверху;
4) Ун~им = -4, У наиб= 4;
5) функция непрерывна на (-оо; со); бj E(nc[--4;4].
а}х-45=0; х=45.
Ответ: у= О при х =-1; 3.
§11. Четные и нечетные функции
Ответ: (-оо;-4] U [2; оо). 6)
-
Ответ:[-2;4].
О,5х2 - х - 4:;; О; х2 - 2х - 8 ~ О; D = 4 + 32 = 36;
[ х ~ 4,
х = -2.
Ответ: (-оо; -1] U [¼; оо ). с)
3-~х2~0 I (х-Гб)(х+-Гб)~О;
[ х ~ Гб,
х = --Гб.
2
~t&@П)~о@@Ш
а} --тJГ\ /L_jJ - ,1~} ,,-,- fh'\ ~
l~~&;,~0!~1,:!k- ~~ :~ ~~~~~~
I\
__ с-- ~,-_ -~
v(J '\ ' о
I \
I~ _µ /~ I :~J \...(о, ~ (
б} (l~- •\•I JQ} 'fllг~ IA\ у!)
I I
1\. /
l.0"'\..1 ' о '
1/ '
/ I'-.. - А' ~нl
,I l,J (Ра ~i et ~д Е~
/ ( I . ~ ,- ~~~
l [JL-5 ,!=; - ',----, лv l"'=v '~ п"+..J 6 I
~г: r;:::J ,----_"'1Си ,-,-l~m
Г\ ' • (Г'-- ,-
; 'ii~\ ~пg Qjь,a,., I' \ I yt / ---
/ I fl~ \~f°т~f ~ ' 1~ \ q jl ---
I I ~~ "Т"Т J ' I 7
б}у(~~; '~щ- ~·-~ ~~~
в}у(- = - )2= Зх = 4i к я е ·
,} D(y}" ,л "!? м ." ' м!;J:ж ~- " 'rr ф 'О, ,trri " ""'""·
б)у(-х) = (-х)6 + 2(-х)4 - 7(-х)2 = х6 + 2х4 - 7х2 + 8 = у(х) -функция четная;
щу(~(-:)~ ~ :' 1 у(х~м
• c-bl) х • - - . О
(-х а х+
- у(х и у(- -у(х - ункция ни четная,ни нечетная.
lLLU
\\J)'
Vl'i---1-
о
б}О,ее, ~r; :~t~~ev
VI\
V
V
N 1/
\1 1/
1"
I/
о
§12. Функции у= х" (п Е N), их свойства и графики
2
ra~m~n~(o)м
